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Two basic probabilistic proofs[zz]

Repost from http://djalil.chafai.net/blog/2011/08/23/two-basic-probabilistic-proofs/

Very elegant proof!!

Johan Jensen (mathematician)

I enjoy basic beautiful mathematical proofs. I see them like small jewels, that I collect from time to time. In this spirit, this post proposes probabilistic proofs of a couple of basic results.

Jensen inequality. The Jensen inequality states that if X is an integrable random variable on Rn and φ:Rn→R a convex function such that φ(X) is integrable, then

 

φ(E(X))≤E(φ(X)).

 

To prove it, we start by using the convexity of φ, which gives, for every integer n≥1 and every sequence x1,…,xn in Rn,

 

φ(x1+⋯+xnn)≤φ(x1)+⋯+φ(xn)n.

 

Now, we use the integrability of X and φ(X): we take x1,x2,… random independent and distributed as X, we use the strong law of large numbers for both sides, the fact that φ is continuous for the left hand side, and the fact that if P(A)=P(B)=1 then A∩B≠∅. I also appreciate the proof based on the equality for affine functions, the variational expression of a convex function as the envelope of its tangent hyperplanes, together with the fact that the supremum of expectations is less than or equal to the expectation of the supremum. Read more…

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Free Academic Books

http://www.intechopen.com/ 是个不错的网站,可以免费下载学术书籍,发现了不少Computer Vision领域的书籍,Machine Learning 和 Pattern Recognition的书籍也不少,不过没有那些经典的书,很多都是最近两三年发布的新书。

关注google inside search

google的insidesearch,展现了当前google正在研发的基于声音搜索,基于图像搜索,以及基于即时网页搜索的最新快速搜索技术。在insidesearch页面最下面,可以通过看一个时间轴滑动图(The Evolution of Google Search)了解到google发展的历程。在这个历程里面,往往都是记录的当时最新的最快的搜索技术,偶尔也会有一些出人意料的小技术(surprising features and milestones)让人们惊叹google的impressive,比如6月9日纪念摇滚吉他歌手Les Paul而定制的涂鸦。

今天是父亲节,google的涂鸦也很漂亮,

其他搜索引擎的涂鸦也别有一番风趣:

感叹一下,老爹的生日和父亲节重一天了,一年难得的节日就这么少了一个,可怜的老爹啊,待会儿给您电话,父亲节生日快乐!

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UTC和GMT时间zz

每个地区都有自己的本地时间,在网上以及无线电通信中时间转换的问题就显得格外突出。我自己就经常混淆于此,特地研究了一下,记录在此以备忘。
整个地球分为二十四时区,每个时区都有自己的本地时间。在国际无线电通信场合,为了统一起见,使用一个统一的时间,称为通用协调时(UTC, Universal Time Coordinated)。UTC与格林尼治平均时(GMT, Greenwich Mean Time)一样,都与英国伦敦的本地时相同。在本文中,UTC与GMT含义完全相同。
北京时区是东八区,领先UTC八个小时,在电子邮件信头的Date域记为+0800。如果在电子邮件的信头中有这么一行:
Date: Fri, 08 Nov 2002 09:42:22 +0800
说明信件的发送地的地方时间是二○○二年十一月八号,星期五,早上九点四十二分(二十二秒),这个地方的本地时领先UTC八个小时(+0800, 就是东八区时间)。电子邮件信头的Date域使用二十四小时的时钟,而不使用AM和PM来标记上下午。
以这个电子邮件的发送时间为例,如果要把这个时间转化为UTC,可以使用一下公式:
UTC + 时区差 = 本地时间
时区差东为正,西为负。在此,把东八区时区差记为 +0800,
UTC + (+0800) = 本地(北京)时间 (1)
那么,UTC = 本地时间(北京时间))- 0800 (2)
0942 – 0800 = 0142
即UTC是当天凌晨一点四十二分二十二秒。如果结果是负数就意味着是UTC前一天,把这个负数加上2400就是UTC在前一天的时间。例如,本地 (北京)时间是 0432 (凌晨四点三十二分),那么,UTC就是 0432 – 0800 = -0368,负号意味着是前一天, -0368 + 2400 = 2032,既前一天的晚上八点三十二分。
纽约的时区是西五区,比UTC落后五个小时,记为 -0500:
UTC + (-0500) = 纽约时间 (3)
UTC = 纽约时间 + 0500 (4)
把(2)式 - (4)式相比较,
UTC = 北京时间 - 0800 = 纽约时间 + 0500 (5)
即 北京时间 = 纽约时间 + 1300 (6)
即北京时间领先纽约时间十三个小时,由(6)式,
纽约时间 = 北京时间 - 1300 (7)
在四月下旬,纽约又换用夏令时,又称为日光节约时,比标准纽约时间提前一个小时,实际成为西四区的标准时间,成为 -0400。
UTC + (-0400) = 纽约夏令时,套用以上公式,
北京时间 = 纽约夏令时 + 1200
纽约夏令时 = 北京时间 - 1200
在这些转换中,最重要的公式就是
UTC + 时区差 = 本地时间
时区差东为正,西为负。例如,东八区(北京)是 +0800,西五区(纽约)是-0500,加州是西八区,是-0800,美国中部时区是西六区,-0600,美国山地时区是西七区,-0700,太平洋时 区是西八区,-0800,在夏天使用夏时制,成为-0700。德国时区是东一区,+0100,夏天变为+0200。
多数电子邮件程序,例如Outlook Express,在显示时间时,计算机程序把时间先转换成为本地时间再显示,例如,邮件的Date域为:
Date: Fri, 08 Nov 2002 09:42:22 +0800
Outlook Express在显示时就显示为:
Date: Thur, 07 Nov 2002 08:42:22 pm,把北京时间转换成为了纽约时间,而且把二十四小时格式的时间转换成为了十二小时的格式。当然,为了时间转换正确,发送方和接受方的计算机的时区都要 设置正确,在这里,发送方的时区要正确地设为北京时区东八区,而我的时区要设为西五区。
为了方便起见,我在这里放上纽约,加洲以及北京实时显示的时钟,以省去计算的麻烦。

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